07 트리 Tree
출처
- C언어로 쉽게 풀어쓴 자료구조(천인국, 공용해, 하상호 저)
목차
- 트리의 구현
4-1. 이진 트리 구현
4-2. 이진 탐색 트리 구현
1. 트리의 개념
1-1. 트리란?
트리는 리스트, 스택, 큐와 같은 선형 자료 구조가 아닌 계층적인 특징을 가지고 있는 비선형 자료 구조이다. 트리라고 부르는 이유는 나무를 엎어놓은 것과 같은 모양새를 하고 있어 그 이름이 붙게 되었다.
트리를 이해하기 위해 필요한 용어
- 노드(node): 트리의 구성요소
- 간선(edge): 노드를 연결하는 선
- 루트(root): 부모가 없는 노드
- 서브트리(subtree): 하나의 노드와 그 노드들의 자손들로 이루어진 트리
- 단말 노드(terminal node): 자식이 없는 노드
- 비단말 노드(nonterminal node): 적어도 하나의 자식을 가지는 노드
- 자식 노드: 간선으로 연결된 하위 노드
- 부모 노드: 간선으로 연결된 상위 노드
- 형제 노드: 같은 레벨에 있는 노드
- 조상 노드(조부모 노드): 2계층 위로 간선이 연결된 노드
- 레벨(level): 트리의 각층의 번호
- 높이(height): 트리의 최대 레벨
- 차수(degree): 노드가 가지고 있는 자식 노드의 개수
트리는 부모-자식 관계의 노드들로 이루어진다. 계층적인 조직의 표현이나 컴퓨터 디스크의 디렉토리 구조, 인공지능에서의 의사결정트리 등에 사용된다.
1-2. 트리의 표현방법
트리를 표현하는 방법은 크게 2가지 있다. 배열을 이용하는 방법과 포인터를 사용하는 방법이다.
배열을 이용한 트리
먼저 배열을 이용해 트리를 만드는 방법에 대해 설명하겠다. 모든 이진 트리를 포화 이진 트리라고 가정해보자. 각 노드에 번호를 붙여서 그 번호를 배열의 인덱스로 삼아 데이터를 배열에 저장하면 배열을 이용해 트리를 만들 수 있다.
배열을 이용한 트리의 부모와 자식 인덱스 관계는 아래와 같다.
- 노드 i의 부모 노드 인덱스 = i/2
- 노드 i의 왼쪽 자식 노드 인덱스 = 2i
- 노드 i의 오른쪽 자식 노드 인덱스 = 2i+1
링크를 이용한 배열
포인터를 이용하여 부모노드가 자식노드를 가리키게 하는 방법이다.
포인터를 이용한 트리를 구조체로 구현하면 아래와 같다. 값을 저장할 변수와 왼쪽 서브트리와 오른쪽 서브트리를 가리킬 수 있는 2개의 포인터가 필요하다.
typedef struct TreeNode {
int data;
struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode;2. 트리의 종류
트리는 이진트리와 일반트리로 나뉜다. 이진트리는 최대 2개의 자식만 가지는 것이고, 일반 트리는 그러한 제한이 없는 트리를 말한다.
2-1. 이진 트리
트리 중에서 가장 많이 쓰이는 트리는 이진 트리이다. 모든 노드가 2개의 서브 트리를 가지고 있는 트리를 이진 트리(binary tree)라고 한다. 서브 트리는 공집합일 수 있다. 최대 2개까지의 자식 노드만 가지고 있을 수 있기 때문에 모든 노드의 차수는 2 이하가 된다.
이진 트리는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.
- n개의 노드를 가진 이진트리는 정확히 n-1 개의 간선을 가진다.
- 높이가 h인 이진트리는 최소 h개의 노드를 가지고, 최대 $ 2^h-1 $개의 노드를 가진다.
- n개의 노드를 가지는 이진트리의 높이는 최대 n이고 최소 $ ⌈log_2(n+1)⌉ $이다.
이진 트리는 아래와 같이 분류할 수 있다.
- 포화 이진 트리(full binary tree)
- 완전 이진 트리(complete binary tree)
- 기타 이진 트리
포화 이진 트리는 높이를 k라고 할 때 정확하게 $ 2^k-1 $개의 노드를 가지고 있는 트리를 말한다.
완전 이진 트리는 높이를 k라고 할 때 레벨 1부터 k-1까지는 완전히 채워져있고, 마지막 레벨인 k에서는 왼쪽부터 오른쪽으로 차례대로 채워지는 트리를 말한다.
2-2. 이진 탐색 트리
이진 탐색 트리(binary search tree)는 이진 트리 기반의 탐색을 위한 자료구조이다. 탐색은 컴퓨터 프로그램에서 매우 중요하다. 가장 시간이 많이 걸리는 작업 중 하나이므로 효율적으로 처리하는 것이 핵심이다. 이진 탐색 트리의 정의는 아래와 같다.
- 모든 원소의 키는 유일한 키를 가진다.
- 왼쪽 서브 트리 키들은 루트 키보다 작다.
- 오른쪽 서브 트리의 키들은 루트의 키보다 크다.
- 왼쪽과 오른쪽 서브 트리도 이진 탐색 트리이다.
이진탐색을 중위순회하면 오름차순으로 정렬된 값을 얻을 수 있다.
이진 탐색 트리의 제일 중요한 연산은 탐색, 삽입, 삭제 연산이다.
탐색연산
- 비교한 결과가 같으면 탐색이 성공적으로 끝난다.
- 비교한 결과가, 주어진 키 값이 루트 노드의 키값보다 작으면 탐색은 이 루트 노드의 왼쪽 자식을 기준으로 다시 시작한다.
- 비교한 결과가, 주어진 키 값이 루트 노드의 키값보다 크면 탐색은 이 루트 노드의 오른쪽 자식을 기준으로 다시 시작한다.
삽입연산
- 위 서술된 탐색을 수행한다.
- 탐색에 실패한 위치에 새로운 노드를 삽입한다.
삭제 연산
- 3가지 경우를 고려
- 삭제하려는 노드가 단말 노드 일 경우
- 삭제하려는 노드가 하나의 왼쪽이나 오른쪽 서브 트리 중
하나만 가지고 있는 경우 - 삭제하려는 노드가 두개의 서브 트리 모두 가지고 있는 경우
- 첫 번째 경우: 단말노드의 부모노드를 찾아서 연결을 끊는다.
- 두 번째 경우: 해당 노드를 삭제하고 서브트리는 부모노드에 붙여준다.
- 마지막 경우: 삭제노드와 가장 비슷한 값을 가진 노드를 삭제노드 위치로 가지고 온 뒤 그 노드는 삭제한다. 가장 비슷한 값이란? 왼쪽 서브 트리에서 제일 큰 값 또는 오른쪽 서브 트리에서 제일 작은 값이다.
3. 트리의 순회
트리는 3가지의 기본적인 순회방법이 있다.
- 전위순회(preorder traversal) : VLR
- 자손노드보다 루트노드를 먼저 방문한다.
- 중위순회(inorder traversal) : LVR
- 왼쪽 자손, 루트, 오른쪽 자손 순으로 방문한다.
- 후위순회(postorder traversal) : LRV
- 루트노드보다 자손을 먼저 방문한다.
(V=루트, L=왼쪽 서브 트리, R=오른쪽 서브 트리)
3-1. 전위순회
- 루트 노드를 방문한다
- 왼쪽 서브트리를 방문한다
- 오른쪽 서브트리를 방문한다
전위순회의 의사코드(순환호출 사용)
preorder(x)
if x ≠ NULL
then print DATA(x);
preorder(LEFT(x));
preorder(RIGHT(x));
3-2. 중위순회
- 왼쪽 서브트리를 방문한다
- 루트 노드를 방문한다
- 오른쪽 서브트리를 방문한다
중위순회의 의사코드
inorder(x)
if x ≠ NULL
then preorder(LEFT(x));
print DATA(x);
preorder(RIGHT(x));
3-3. 후위순회
- 왼쪽 서브트리를 방문한다
- 오른쪽 서브트리를 방문한다
- 루트 노드를 방문한다
후위순회의 의사코드
postorder(x)
if x ≠ NULL
then preorder(LEFT(x));
preorder(RIGHT(x));
print DATA(x);